如圖，設(shè)F（-c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，直線l：x=-
a2
c
與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P的直線m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
①證明：∠AFM=∠BFN；
②求△ABF面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=4，e=
1
2
，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，∠AFM=∠BFN=0；當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出kAF+kBF=0，從而證明對(duì)于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
②法一：由S△ABF=S△PBF-S△PAF=
72
m2-4
3(m2-4)+16
=
72
3
m2-4
+
16
m2-4
，利用均值定理能求出△ABF面積的最大值．
②法二：分別求出|AB|和點(diǎn)F到直線AB的距離d，由此利用三角形面積公式和均值定理能求出△ABF面積的最大值．
解答： （1）解：∵F（-c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，
直線l：x=-
a2
c
與x軸交于P點(diǎn)，
MN為橢圓的長軸，|MN|=8，∴a=4，…（1分）
又∵|PM|=2|MF|，∴e=
1
2
，…（2分）
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1…（3分）
（2）①證明：當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，∠AFM=∠BFN=0，滿足題意；…（4分）
當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0．…（5分）
△=576（m2-4），yA+yB=
48m
3m2+4
，yAyB=
144
3m2+4
．
則kAF+kBF=
yA
xA+2
+
yB
xB+2
=
yA
myA-6
+
yB
myB-6

=
yA(myB-6)+yB(myA-6)
(myA-6)(myB-6)
=
2myAyB-6(yA+yB)
(myA-6)(myB-6)
，
而2myAyB-6（yA+yB）
=2m•
144
3m2+4
-6•
48m
3m2+4
=0，…（7分）
∴kAF+kBF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜合可知：對(duì)于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．…（8分）
②解法一：S△ABF=S△PBF-S△PAF
=
1
2
|PF|•|yB-yA|=
72
m2-4
3m2+4
，…（10分）
即S△ABF=
72
m2-4
3(m2-4)+16
=
72
3
m2-4
+
16
m2-4

≤
72
2
3•16
=3
3
，…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)3
m2-4
=
16
m2-4
，
即m=±
2
21
3
時(shí)（此時(shí)適合于△＞0的條件）取到等號(hào)．
∴△ABF面積的最大值是3
3
．…（13分）
②解法二：|AB|=
1+m2
|y1-y2|=
1+m2
(y1+y2)2-4y1y2
=
24
1+m2
•
m2-4
3m2+4
，
點(diǎn)F到直線AB的距離d=
|2-8|
1+m2
=
6
1+m2
…（10分）S=
1
2
|AB|•d=
1
2
×
24
1+m2
m2-4
3m2+4
×
6
1+m2
=
72
m2-4
3m2+4

=
72
3
m2-4
+
16
m2-4
≤
72
2×
3×16
=3
3
，…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)3
m2-4
=
16
m2-4
，
即m=±
2
3
21
時(shí)取等號(hào)．
∴△ABF面積的最大值是3
3
．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩角相等的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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定義一個(gè)集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集，記為P（A），用n（A）表示有限集A的元素個(gè)數(shù)，給出下列命題：
①對(duì)于任意集合A，都有A∈P（A）；
②存在集合A，使得n[P（A）]=3；
③用∅表示空集，若A∩B=∅，則P（A）∩P（B）=∅；
④若A⊆B，則P（A）⊆P（B）；
⑤若n（A）-n（B）=1，則n[P（A）]=2×n[P（B）]．
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　　）
A、4B、3C、2D、1

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在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
（Ⅰ）求
c
a
的值；
（Ⅱ）若cosB=
1
4
，△ABC的周長為5，求b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1) 的離心率為e，點(diǎn)F為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若 e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如圖2．

（Ⅰ）當(dāng)AG+GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；
（Ⅱ）當(dāng)2VB-ADGE=VD-GBCF時(shí)，求二面角D-BG-C平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若命題“?x0∈R，2x02-3mx0+9＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 
．

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已知i是虛數(shù)單位．復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1，則|z|=
 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)α為銳角，若cos（α+
π
6
）=
3
5
，則sin（α-
π
12
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=x2+2ax在區(qū)間[4，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是
 
．

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