Question

20．已知函數(shù)F（x）=e^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若?x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是$（{-∞，2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出g（x），h（x）的表達式，然后將不等式恒成立進行參數(shù)分離，利用基本不等式進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)F（x）=e^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
∴e^x =g（x）+h（x），e^-x=g（x）-h（x），
∴g（x）=$\frac{{e}^{x}{+e}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}{-e}^{-x}}{2}$．
∵?x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，即$\frac{{e}^{2x}{+e}^{-2x}}{2}$-a•$\frac{{e}^{x}{-e}^{-x}}{2}$≥0恒成立，
∴a≤$\frac{{e}^{2x}{+e}^{-2x}}{{e}^{x}{-e}^{-x}}$=$\frac{{{（e}^{x}{-e}^{-x}）}^{2}+2}{{e}^{x}{-e}^{-x}}$=（e^x-e^-x）+$\frac{2}{{e}^{x}{+e}^{-x}}$，
設(shè)t=e^x-e^-x，則函數(shù)t=e^x-e^-x在（0，2]上單調(diào)遞增，
∴0＜t≤e²-e^-2，
此時 不等式t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$時，取等號，∴a≤2$\sqrt{2}$，
故答案為：$（{-∞，2\sqrt{2}}]$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的基本方法，本題使用了基本不等式進行求解最值，綜合性較強，運算量較大，屬于中檔題．