Question

6．已知α，β為銳角，且sinα-sinβ=-$\frac{1}{2}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，則tan（α-β）=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出cos（α-β）的值，然后求出sin（α-β），即可求解結果．

解答 解：∵α，β為銳角，且sinα-sinβ=-$\frac{1}{2}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，
∴sin²α+cos²α-2sinαsinβ+cos²β+sin²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{2}$，
即 2-2cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，∴cos（α-β）=$\frac{3}{4}$，
∵sinα＜sinβ，∴0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜0，sin（α-β）=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關系式的應用，注意角的范圍是解題的關鍵，屬于基礎題．