Question

已知{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2（n∈N⁺），
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

1

log4anlog4an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=2a₁-2，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），從而得到{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=

1

log4anlog4an+1

=

1

log42n•log42n+1

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2（n∈N⁺），
∴n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），
整理，得a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=

1

log4anlog4an+1

=

1

log42n•log42n+1

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=4（1-

1

n+1

）
=

4n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．