【題目】已知函數(shù)有兩個零點,,則下面說法不正確的是(

A.B.

C.D.有極小值點,且

【答案】C

【解析】

先證明出對數(shù)平均不等式,由題意得出,將兩式作差結(jié)合對數(shù)平均不等式可判斷出AB選項的正誤,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合該函數(shù)的極值以及該函數(shù)有兩個零點可判斷出選項的正誤,求出極值點,將中兩等式相加可判斷D選項的正誤.

先證明對數(shù)平均不等式.

先考慮不等式,設(shè),

即證,即證,令,即證不等式.

構(gòu)造函數(shù),則,

所以,函數(shù)上單調(diào)遞增,則,

當(dāng),時,

接下來考慮不等式,設(shè),

即證,即證,設(shè),即證不等式.

構(gòu)造函數(shù),則

所以,函數(shù)上單調(diào)遞增,則

當(dāng),時,有.

即當(dāng),時,.

對于C選項,,.

①當(dāng)時,對于任意恒成立,此時函數(shù)上單調(diào)遞增,該函數(shù)最多有一個零點;

②當(dāng)時,令,得.

當(dāng)時,,當(dāng)時,.

所以,函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以,函數(shù)處取得極小值,

由于該函數(shù)有兩個零點,則

,解得,C選項錯誤;

對于A、B選項,由于函數(shù)有兩個零點、,且

由于,則,且有

,兩個等式兩邊取自然對數(shù)得

兩式相減得,,

由對數(shù)平均不等式得,即,

,A、B選項都正確;

對于D選項,由C選項可知,,

中兩個等式相加得,

,即,D選項正確.

故選:C.

練習(xí)冊系列答案
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