【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿足對(duì)所有正整數(shù)成立,則稱為“數(shù)列”,現(xiàn)已知數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)若,求的值;
(2)若對(duì)所有成立,且存在使得,求的所有可能值,并求出相應(yīng)的的通項(xiàng)公式;
(3)數(shù)列滿足,證明:是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)是等差數(shù)列。
【答案】(1)或
(2),
(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)已知條件列方程求解即可;
(2)先由已知猜想,再結(jié)合與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明,通常考慮用數(shù)學(xué)歸納法即可得證;
(3)按數(shù)列是否為等差數(shù)列分類證明,可以用反證法來(lái)證明結(jié)論.
解:(1)由已知可得:,
又,即,
解得或;
(2)當(dāng)時(shí),,又,
則,則與已知矛盾,
即,
當(dāng),可得,,
猜想:,
證明:①當(dāng)時(shí),成立,
② 假設(shè)當(dāng),時(shí),結(jié)論成立,即,
,
那么當(dāng)時(shí),,依然成立,
綜上可得:;
(3)假設(shè)是等差數(shù)列,令,則,
即,可得,
則,化簡(jiǎn)整理得:成立,
因?yàn)?/span>且,則,則,則為非零的常數(shù)列的等差數(shù)列,從而得證,
若不是等差數(shù)列,則,(含變量的式子,非常數(shù)),
則,根據(jù)累加法可得常數(shù),
故不可能是等比數(shù)列,
故是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若的值域?yàn)?/span>,求的值;
(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實(shí)數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是定義域?yàn)?/span>的函數(shù),對(duì)任意,都滿足:,,且當(dāng)時(shí),.
(1)請(qǐng)指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn);
(2)試證明是周期函數(shù),并求其在區(qū)間()上的解析式;
(3)方程有三個(gè)不等根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,橢圓:的離心率為,直線與交于,兩點(diǎn),長(zhǎng)度的最大值為4.
(1)求的方程;
(2)直線與軸的交點(diǎn)為,當(dāng)直線變化(不與軸重合)時(shí),若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線,圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)的交點(diǎn)為A,B,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、,,則下面說(shuō)法不正確的是( )
A.B.
C.D.有極小值點(diǎn),且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),的面積為,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),與橢園交于兩個(gè)不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知、是定義在實(shí)數(shù)集上的實(shí)值函數(shù),如果存在,使得對(duì)任何,都有,那么稱比高興,如果對(duì)任何,都存在,使得,那么稱比幸運(yùn),對(duì)于實(shí)數(shù)和上述函數(shù),定義.
(1)①,,判斷是否比高興?
②,,判斷是否比幸運(yùn)?
(2)判斷下列命題是否正確?并說(shuō)明理由:
①如果比高興,比高興,那么比高興;
②如果比幸運(yùn),比幸運(yùn),那么比幸運(yùn);
(3)證明:對(duì)每個(gè)函數(shù),均存在函數(shù),使得對(duì)任何實(shí)數(shù),都比幸運(yùn),也比幸運(yùn).
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