Question

（本小題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切．

（I）求圓的方程；

（II）圓與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)使成等比數(shù)列，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）;（II）

【解析】（Ⅰ）設(shè)圓O的半徑為r，由圓心為原點(diǎn)（0，0），根據(jù)已知直線與圓O相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離d，即為圓的半徑r，由圓心和半徑寫出圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

（II）設(shè)．設(shè)，由成等比數(shù)列，得

，即    ．

然后可得，再根據(jù)點(diǎn)P在圓O內(nèi)得到y(tǒng)的取值范圍，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決.

解：（I）依題設(shè)，圓的半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，

即  ．得圓的方程為．         …………（4分）

（II）不妨設(shè)．由，得．

設(shè)，由成等比數(shù)列，得

，即    ．   …………（8分）

由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故

由此得．所以的取值范圍為．       …………（12分）