Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；
（2）在（1）的條件下，設(shè)直線x-y-1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，由求出當(dāng)m＜5時(shí)，曲線C表示圓．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，由直線x-y-1=0代入曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0，得2x²-8x+5+m=0，由此能求出存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，m=-2．

解答： 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0
由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，
∴當(dāng)m＜5時(shí)，曲線C表示圓；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則OA⊥OB，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
由直線x-y-1=0代入曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0，
得2x²-8x+5+m=0，
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，
又由（1）知m＜5，故m＜3；
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

m+5

2

∴y₁y₂=

m-1

2

∴x₁x₂+y₁y₂=

m+5

2

+

m-1

2

=0，
∴m=-2＜3，
故存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，m=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程表示圓時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．