【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)若函數(shù)有兩個極值點,且,證明:.

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)見解析

【解析】分析:(1)求出函數(shù)的定義域為及函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令,分分類討論,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求出函數(shù)的兩個極值點,轉(zhuǎn)化為,即證明,轉(zhuǎn)化為證明成立,設(shè)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

詳解:(Ⅰ)由,得:

設(shè)函數(shù)

當(dāng)時,即時,,,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

當(dāng)時,即時,

,,

當(dāng)時,即時,在 上,,;

上,,.

所以函數(shù),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時,即時,在上,,;

上,,.

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞減,

上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)證明:∵函數(shù)有兩個極值點,且

有兩個不同的正根,

.

欲證明,即證明,

,

∴證明成立,等價于證明成立.

,∴.

設(shè)函數(shù)

求導(dǎo)可得.

易知上恒成立,

上單調(diào)遞增,

,即上恒成立,

∴函數(shù)有兩個極值點,且時,.

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