Question

10．已知點(diǎn)$A（1{，_{\;}}\sqrt{2}）$是離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，斜率為$\sqrt{2}$的直線BC交橢圓于B、C兩點(diǎn)，且B、C與A點(diǎn)均不重合．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）△ABC的面積是否存在著最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？
（Ⅲ）求直線AB與直線AC斜率的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率以及點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，求解橢圓的幾何量，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC的方程為$y=\sqrt{2}x+m$，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，求出三角形的面積，利用基本不等式求解△ABC的面積的最大值．
（Ⅲ）設(shè)直線AB與直線AC的斜率分別為k_AB和k_AC，求出斜率的比值，結(jié)合（Ⅱ）求解即可．

解答 （本題14分）
（Ⅰ）解：依題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{{，}_{\;}}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}=1}\end{array}}\right.$…（2 分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2{，_{\;}}}\\{b=\sqrt{2}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$…（3 分）
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4 分）
（Ⅱ）解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC的方程為$y=\sqrt{2}x+m$，
則有$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$
整理，得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+（{m^2}-4）=0$．…（5 分）
由$△={（2\sqrt{2}m）^2}-16（{m^2}-4）=-8{m^2}+64＞0$，
解得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$．…（6 分）
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$．…（7 分）$|{BC}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_2}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{2}\sqrt{8-{m^2}}$，
設(shè)d為點(diǎn)A到直線BC的距離，
則$d=\frac{{|{\sqrt{2}-\sqrt{2}+m}|}}{{\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|m|$．…（8 分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}$．
∵$\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}$≤$\frac{{{m^2}+（8-{m^2}）}}{2}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)m=±2時(shí)，△ABC的面積取得最大值$\sqrt{2}$．…（9 分）
（Ⅲ）解：設(shè)直線AB與直線AC的斜率分別為k_AB和k_AC，
則${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}$，${k_{AC}}=\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}$，…（10分）
故$\frac{{{k_{AB}}}}{{{k_{AC}}}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{x_2}-1}}{{{y_2}-\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}{x_1}+m-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{x_2}-1}}{{\sqrt{2}{x_2}+m-\sqrt{2}}}$．
∵${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，∴$m=-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）$．
∴$\frac{{{k_{AB}}}}{{{k_{AC}}}}=\frac{{-\sqrt{2}（{x_2}+1）}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{x_2}-1}}{{-\sqrt{2}（{x_1}+1）}}=\frac{x_2^2-1}{x_1^2-1}$．…（12分）
由${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$，
得$x_1^2+x_2^2={（{x_2}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}=\frac{m^2}{2}-\frac{{{m^2}-4}}{2}=2$，…（13分）
∴$x_2^2-1=1-x_1^2=-（x_1^2-1）$．
∴$\frac{{{k_{AB}}}}{{{k_{AC}}}}=\frac{x_2^2-1}{x_1^2-1}=-1$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．