Question

12．設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，S₆≥21且S₁₅≤120，則a₁₀的最大值是10．

Answer 1

分析 法一：由已知條件利用等差數列的前n項和公式得到2a₁+5d≥7，a₁+7d≤8．由此利用等差數列的通項公式能求出a₁₀的最大值．
法二：設a₁=x，d=y，由已知得：$\left\{\begin{array}{l}2x+5y≥7\\ x+7y≤8\end{array}\right.$，目標函數a₁₀=z=x+9y，由此利用線性規(guī)劃能求出a₁₀的最大值．

解答 解法一：∵S₆=6a₁+15d≥21，S₁₅=15a₁+105d≤120，
∴2a₁+5d≥7，a₁+7d≤8．
∴a₁₀=a₁+9d=-$\frac{2}{9}$（2a₁+5d）+$\frac{13}{9}$（a₁+7d）
≤-$\frac{2}{9}$×7+$\frac{13}{9}$×8=10．
∴a₁₀的最大值是10．
解法二：設a₁=x，d=y，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}2x+5y≥7\\ x+7y≤8\end{array}\right.$，
目標函數a₁₀=z=x+9y，
畫出平面區(qū)域，知a₁₀=z=x+9y在點（1，1）處取到最大值，
且a₁₀的最大值a₁₀=z=1+9=10．
故答案為：10．

點評 本題考查等差數列的第10項的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．