Question

17．設(shè)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y=$\frac{3}{2}$x，兩焦點(diǎn)間距離為2$\sqrt{13}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF₁|=3，則|PF₂|=7．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線以及條件求出a，c的值，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，即b=$\frac{3}{2}$a，
∵兩焦點(diǎn)間距離為2$\sqrt{13}$，
∴2c=2$\sqrt{13}$，即c=$\sqrt{13}$，
則b²=$\frac{9}{4}$a²=c²-a²，
即$\frac{13}{4}$a²=13，則a²=4，a=2，
∵|PF₁|=3＜a+c=$\sqrt{13}$+2，
∴點(diǎn)P在雙曲線的左支上，
則|PF₂|-|PF₁|=2a=4，
即|PF₂=4+|PF₁|=4+3=7，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出a，c的值結(jié)合雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵．