2．已知α，β是△ABC的兩銳角，且$（sinα+1）（1-\frac{1}{sinα}）＞（cosβ+1）（1-\frac{1}{cosβ}）$，則△ABC的形狀為（　�。�
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

分析 由條件根據(jù)函數(shù)y=（1+t）（1-$\frac{1}{t}$）在（0，1）上是增函數(shù)，可得sinα＞cosβ=sin（$\frac{π}{2}$-β），可得α＞$\frac{π}{2}$-β，由此可得△ABC的第三個(gè)內(nèi)角為π-（α+β）為銳角，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵已知α，β是△ABC的兩銳角，且$（sinα+1）（1-\frac{1}{sinα}）＞（cosβ+1）（1-\frac{1}{cosβ}）$，
由于sinα∈（0，1），cosβ∈（0，1），函數(shù)y=（1+t）（1-$\frac{1}{t}$）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴sinα＞cosβ=sin（$\frac{π}{2}$-β），∴α＞$\frac{π}{2}$-β，即α+β＞$\frac{π}{2}$，
故△ABC的第三個(gè)內(nèi)角為π-（α+β）為銳角，故△ABC為銳角三角形，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=（1+t）（1-$\frac{1}{t}$）在（0，1）上的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．已知兩點(diǎn)A（0，2），B（1，0），直線l：3x+y+m=0上一點(diǎn)P滿足PA=$\sqrt{2}$PB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-14，6]．

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13．若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1的左焦點(diǎn)重合，則拋物線方程為y2=-8x．

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10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），過F2作垂直于x軸的直線l1交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AF1|=7|AF2|
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）過F1作斜率為1的直線l2交C于M，N兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMN的面積為$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，求橢圓C的方程．

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17．設(shè)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y=$\frac{3}{2}$x，兩焦點(diǎn)間距離為2$\sqrt{13}$，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|=3，則|PF2|=7．

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7．已知A、B分別是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右頂點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A且垂直于x軸，若過F作直線FQ垂直于AP，并交直線l于點(diǎn)Q，證明：Q、P、B三點(diǎn)共線．

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14．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且F1是線段QF2的中點(diǎn)，若過A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點(diǎn)M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，且|MG|＞|MH|．若實(shí)數(shù)λ滿足$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{MH}$，求λ+$\frac{1}{λ}$的取值范圍．

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11．已知橢圓C1：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距為$4\sqrt{2}$，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F是橢圓C1的頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）C1上不同于F的兩點(diǎn)P，Q滿足$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=0$，且直線PQ與C2相切，求△FPQ的面積．

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12．如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D在邊 AB上，且$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{3}$．記∠ACD=α，
∠BCD=β．
（Ⅰ）求證：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sinβ}{3sinα}$
（Ⅱ）若α=$\frac{π}{6}$，β=$\frac{π}{2}$，AB=$\sqrt{19}$，求BC 的長．

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