Question

10．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（2，0），向量$\overrightarrow{OC}$=（2，2），向量$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），則向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{CB}$的夾角的取值范圍是[105°，165°]．

Answer 1

分析 根據(jù)|CA|=$\sqrt{2}$得出A的軌跡，結(jié)合圖形可知當(dāng)OA與軌跡圓相切時(shí)，夾角取得最值，利用平面幾何的性質(zhì)求出切線的夾角即可得出向量的夾角．

解答 解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（2，2），∴B（2，0），C（2，2），
∵$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{2}$，
∴A在以C為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓C上．
∴當(dāng)OA與圓C相切時(shí)，向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{CB}$的夾角取得最大值或最小值．
設(shè)切點(diǎn)分別為A和A′，連結(jié)OC，OA，OA′，則OC=2$\sqrt{2}$，AC⊥OA，
∵sin∠AOC=$\frac{AC}{OC}=\frac{1}{2}$，∴∠AOC=∠A′OC=30°，
∴∠AOB=∠AOy=15°，
∴當(dāng)切點(diǎn)為A時(shí)，向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{CB}$的夾角取得最小值15°+90°=105°，
當(dāng)切點(diǎn)為A′時(shí)，向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{CB}$的夾角取得最大值180°-15°=165°．
故答案為：[105°，165°]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的幾何意義，向量夾角的運(yùn)算，屬于中檔題．