Question

15．已知直線y=kx+2與方程x=1+$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示的曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-1≤k＜-$\frac{3}{4}$．．

Answer 1

分析 方程x=1+$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示以（1，0）為圓心，1為半徑的圓的右半圓，y=kx+2恒過點(diǎn)（0，2），過（0，2），（1，1）的直線的斜率為1，圓心（1，0）到直線的距離d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，可得k=-$\frac{3}{4}$，利用條件即可得出結(jié)論．

解答 解：方程x=1+$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示以（1，0）為圓心，1為半徑的圓的右半圓，
y=kx+2恒過點(diǎn)（0，2），過（0，2），（1，1）的直線的斜率為1，
圓心（1，0）到直線的距離d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，可得k=-$\frac{3}{4}$，
∵直線y=kx+2與方程x=1+$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示的曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴-1≤k＜-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-1≤k＜-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．