Question

拋物線的準(zhǔn)線的方程為，該拋物線上的每個點到準(zhǔn)線的距離都與到定點的距離相等，圓是以為圓心，同時與直線和相切的圓，
（Ⅰ）求定點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）是否存在一條直線同時滿足下列條件：
①分別與直線和交于、兩點，且中點為；
②被圓截得的弦長為2．

Answer 1

，不存在

（1）拋物線的準(zhǔn)線的方程為
根據(jù)拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，
定點N的坐標(biāo)為 
（2）假設(shè)存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，
設(shè)的方程為，   以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為，
方法1：被圓N截得的弦長為2，圓心到直線的距離等于1， 
即，解得，
當(dāng)時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！當(dāng)時，的方程為 
由，解得點A坐標(biāo)為，              
由，解得點B坐標(biāo)為，
顯然AB中點不是，矛盾！不存在滿足條件的直線．
方法2：由，解得點A坐標(biāo)為，由，解得點B坐標(biāo)為，
AB中點為，，解得，   
的方程為，
圓心N到直線的距離，                 
被圓N截得的弦長為2，圓心到直線的距離等于1，矛盾！
不存在滿足條件的直線．
方法3：假設(shè)A點的坐標(biāo)為，
AB中點為，B點的坐標(biāo)為，
又點B在直線上，，              
A點的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，
的方程為，
圓心N到直線的距離，                   
被圓N截得的弦長為2，圓心到直線的距離等于1，矛盾！
不存在滿足條件的直線．