Question

5．某學(xué)校有甲、乙兩個實驗班，為了了解班級成績，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩個班學(xué)生中分別抽取8名和6名測試他們的數(shù)學(xué)成績與英語成績（單位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名學(xué)生的測試分?jǐn)?shù)：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F(xiàn)（134，132），當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語成績滿足m≥135，且n≥130時，該學(xué)生定為優(yōu)秀學(xué)生．
（1）已知甲班共有80名學(xué)生，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙班優(yōu)秀生的數(shù)量；
（2）從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，求至少有兩名優(yōu)秀生的概率；
（3）從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，其中優(yōu)秀生數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)乙班共有學(xué)生x名，則$\frac{8}{80}=\frac{6}{x}$，解得x=60．即乙班共有學(xué)生60名．由測試成績可知：A，B，C，E四名學(xué)生為優(yōu)秀生，即可得出．
（2）至少有兩名優(yōu)秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優(yōu)秀學(xué)生，另一種是3名都是優(yōu)秀生．利用互斥事件與相互獨立事件、古典概率計算公式即可得出．
（3）由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名是優(yōu)秀生的概率為$\frac{2}{3}$．
則ξ～B$（2，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{2-k}$，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)乙班共有學(xué)生x名，則$\frac{8}{80}=\frac{6}{x}$，解得x=60．即乙班共有學(xué)生60名．由測試成績可知：A，B，C，E四名學(xué)生為優(yōu)秀生，∴$60×\frac{4}{6}$=40．
∴用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙班優(yōu)秀生的數(shù)量為40
（2）至少有兩名優(yōu)秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優(yōu)秀學(xué)生，另一種是3名都是優(yōu)秀生．
∴要求的概率P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（3）由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名是優(yōu)秀生的概率為$\frac{2}{3}$．
則ξ～B$（2，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{2-k}$，可得P（ξ=0）=$\frac{1}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{4}{9}$，P（ξ=0）=$\frac{4}{9}$．

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

∴Eξ=$2×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了分層抽樣、互斥事件與相互獨立事件、古典概率計算公式、二項分布列的計算公式與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．