Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），且f（x+1）為偶函數(shù)，定義：滿足f（x）=x的實數(shù)x稱為函數(shù)f（x）的“不動點”，若函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[3m，3n]？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：新定義,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

=1，故有b=-2a，再根據(jù)函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點，可得ax² -2ax=x只有一個解，由判別式等于零求得a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由于函數(shù)g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x 的對稱軸為x=

1

1-2k

，且函數(shù)g（x）在（0，4）上是增函數(shù)，可得

1

1-2k

≤0，由此求得k的范圍．
（3）由（1）中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的最大值，進而根據(jù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[3m，3n]，可得m＜n≤

1

6

，利用二次函數(shù)的圖象和性質分析函數(shù)的單調性，可構造關于m，n的方程組，解方程組可得答案．

解答： 解：（1）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
f（x）=ax² -2ax．
再根據(jù)函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點，可得ax² -2ax=x只有一個解，
故△=（2a+1）²-0=0，
∴a=-

1

2

，b=1
∴f（x）=-

1

2

x²+x
（2）∵函數(shù)g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x
當k-

1

2

=0，即k=

1

2

時，
g（x）=x在（0，4）上是增函數(shù)，滿足要求；
當k-

1

2

＞0，即k＞

1

2

時，
若g（x）=x在（0，4）上是增函數(shù)，
則

1

1-2k

≤0，解得k＞

1

2

，
當k-

1

2

＜0，即k＜

1

2

時，
若g（x）=x在（0，4）上是增函數(shù)，
則

1

1-2k

≥4，解得

3

8

≤k＜

1

2

，
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為[

3

8

，+∞）
（3）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

∵f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[3m，3n]
∴3n≤

1

2

∴n≤

1

6

故m＜n≤

1

6

∴f（x）在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)
∴

f(m)=2m f(n)=3n

即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

即m，n為方程-

1

2

x²+x=3x的兩根，
解-

1

2

x²+x=3x得x=-4，或x=0
故m=-4，n=0

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質應用，新定義，函數(shù)圖象的平移變換，是二次函數(shù)圖象和性質的綜合應用，屬于中檔題．