Question

2．如圖，三棱柱ABC一A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁中點，F(xiàn)在AB上，且CF⊥AB，AC=BC=1，AA₁=3．
（I）求證：CF∥平面AEB₁；
（Ⅱ）求平面ABC與平面AB₁E所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，由已知得四邊形FGEC是平行四邊形，由此能證明CF∥平面AB₁E．
（Ⅱ）利用面積比，求出平面ABC與平面AB₁E所成的銳二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，
因為F在AB上，且CF⊥AB，AC=BC，
所以F是AB的中點，
因為F，G分別是AB，AB₁的中點，
所以FG∥BB₁，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BB₁，
因為E為側(cè)棱CC₁的中點，所以FG∥EC，F(xiàn)G=EC，
所以四邊形FGEC是平行四邊形，則CF∥EG，
因為CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
所以CF∥平面AB₁E．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得AB₁=$\sqrt{9+1+1}$=$\sqrt{11}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{11}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{22}}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴平面ABC與平面AB₁E所成的銳二面角的余弦值=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{22}}{4}}$=$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查平面ABC與平面AB₁E所成的銳二面角的余弦值，考查推理證明與運算能力，屬于中檔題．