Question

14．已知在實數(shù)集R上的可導函數(shù)f（x），滿足f（x+2）是奇函數(shù)，且$\frac{1}{f′（x）}$＞2，則不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1的解集是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （2，+∞）
• C． （0，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 確定f（2）=0，令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，函數(shù)在R上單調遞減，即可求出不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1的解集．

解答 解：∵f（x+2）是奇函數(shù)，
∴f（x）關于（2，0）對稱，f（2）=0
∵$\frac{1}{f′（x）}$＞2，
∴0＜f′（x）＜$\frac{1}{2}$．
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，函數(shù)在R上單調遞減，
∵g（2）=f（2）-1=-1，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1可化為g（x）＞g（2），
∴x＜2，
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查學生解不等式的能力，屬于中檔題．