Question

14．已知在實(shí)數(shù)集R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），滿足f（x+2）是奇函數(shù)，且$\frac{1}{f′（x）}$＞2，則不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1的解集是（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （2，+∞）
• C． （0，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 確定f（2）=0，令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，即可求出不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1的解集．

解答 解：∵f（x+2）是奇函數(shù)，
∴f（x）關(guān)于（2，0）對(duì)稱，f（2）=0
∵$\frac{1}{f′（x）}$＞2，
∴0＜f′（x）＜$\frac{1}{2}$．
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
∵g（2）=f（2）-1=-1，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1可化為g（x）＞g（2），
∴x＜2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．