Question

7．已知函數f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$），（a＞1，x≥1）
（1）求它的反函數f^-1（x），并指出它的定義域；
（2）由f^-1（n）＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），求a的取值范圍；
（3）設b_n=f^-1（n），設S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：當a在（2）的范圍內對任意自然數n都有S_n＜2ⁿ$-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$．

Answer 1

分析 （1）令y=f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$），利用對數式與指數式之間的轉化關系，可得反函數f^-1（x），求出原函數的值域，可得反定義域；
（2）f^-1（n）＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$可化為：$\frac{{a}^{2n}+1}{2{a}^{n}}$=$\frac{{a}^{n}+{a}^{-n}}{2}$＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），結合指數函數的圖象和性質，分類討論可得滿足條件的a的取值范圍；
（3）先用數學歸納法證明出：$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{n}$．再結合（2）的結論，利用放縮法和等比數列前n項和公式，證得結論．

解答 解：（1）令y=f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$），
則x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=a^y，
即$\sqrt{{x}^{2}-1}$=a^y-x，
即x=$\frac{{a}^{2y}+1}{2{a}^{y}}$，
即f^-1（x）=$\frac{{a}^{2x}+1}{2{a}^{x}}$，
∵a＞1，x≥1，
∴x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$≥1，
∴l(xiāng)og_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$）≥0，
∴原函數f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$）的值域為[0，+∞），
∴反函數f^-1（x）的定義域為[0，+∞），
（2）f^-1（n）＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$可化為：$\frac{{a}^{2n}+1}{2{a}^{n}}$=$\frac{{a}^{n}+{a}^{-n}}{2}$＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），
即aⁿ+a^-n＜2ⁿ+2^-n，即$（{a}^{n}-{2}^{n}）[1-\frac{1}{（2a）^{n}}]$＜0，
當1＜a＜2時，aⁿ-2ⁿ＜0，$1-\frac{1}{{（2a）}^{n}}＞0$恒成立，滿足條件；
當a=2時，$（{a}^{n}-{2}^{n}）[1-\frac{1}{（2a）^{n}}]$=0恒成立，不滿足條件；
當a＞2時，aⁿ-2ⁿ＞0，$1-\frac{1}{{（2a）}^{n}}＞0$恒成立，不滿足條件；
綜上所述，1＜a＜2，
證明：（3）當n=1時，$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{4}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設n=k時，$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）^k+1＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k}$．
則n=k+1時，$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）^k+2=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）^k+1]+$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$•${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k+1}$+$\frac{1}{4}$＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k+1}$
即$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{n}$．
又∵b_n=f^-1（n）=$\frac{{a}^{n}+{a}^{-n}}{2}$，
則由（2）得：b_n＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{{2}^{1}+{2}^{-1}}{2}$+$\frac{{2}^{2}+{2}^{-2}}{2}$+…+$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$
=（1+2+…+2^n-1）+[$\frac{1}{2}$²+$\frac{1}{2}$³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹]
=2ⁿ-1+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=2ⁿ-$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＜2ⁿ$-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$．

點評 本題考查的知識點是數學歸納法，不等式的證明，指數函數和對數函數的圖象和性質，等比數列求和，綜合性強，難度較大．