Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD； 
（2）若二面角M-QB-C為30°，試確定點(diǎn)M的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點(diǎn)，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD；由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD；
（2）由PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出t=3．

解答： （1）證明：∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，
∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．             …（5分）
（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
則平面BQC的法向量為

n

=(0，0，1)；Q（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)．
設(shè)M（x，y，z），則

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，…（6分）
∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

…（9分）
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
∴平面MBQ法向量為

m

=(

3

，0，t)．                   …（10分）
∵二面角M-BQ-C為30°，
∴cos30°=

n • m

| n || m |

=

t

3+0+t2

=

3

2

，
∴t=3，
即M是PC的四等分點(diǎn)．                                    …（12分）

點(diǎn)評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何證明題，考查了二面角的求法，面面垂直的證明方法．解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，面面垂直的相關(guān)定理定義等．