Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為

2

，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∠A₁AB=∠A₁AC=45°．
（Ⅰ）求異面直線AA₁與BC所成的角；
（Ⅱ）求此棱柱的表面積和體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H．過H作HD⊥AB，連A₁D，通過三角形全等，說明H在∠CAB平分線AE上，然后推出異面直線AA₁與BC所成的角；
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果，直接求解此棱柱的表面積和體積．

解答： 解：（Ⅰ）過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H．
過H作HD⊥AB，連A₁D則A₁D⊥AB
作HF⊥AC，連結(jié)A₁F則A₁F⊥AC，又∠A₁AB=∠A₁AC=45°
∴Rt△DAA₁≌Rt△FAA₁，∴AD=AF∴Rt△ADH≌Rt△FAH
所以H在∠CAB平分線AE上，由△ABC為正三角形，
∴BC⊥AE⇒BC⊥AA₁
異面直線AA₁與BC所成角為90°；-------------（7分）
（未證明H在∠CAB平分線AE上，扣3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在直角三角形A₁AD中，計(jì)算得A₁D=AD=1，
在Rt△ADH中，計(jì)算得DH=

3

3

在Rt△A₁DH中，計(jì)算得A1H=

6

3

，
∴S=2S△ABC+SBCC1B1=

3

2

+2+

2

．
V=S_△ABC•A₁H=

3

4

×=

2

4

---------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法，幾何體的體積與部門決定求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．