Question

1．已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若a=1，b=＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{x}$，g′（x）=2ax-1，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{g（1）=a-1=0}\\{b=2a-1}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）f（x）-g（x）=x轉(zhuǎn)化為blnx-x²=0，故令G（x）=blnx-x²，G′（x）=$\frac{x}$-2x，從而可得G（x）在（1，$\sqrt{\frac{2}}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{\frac{2}}$，e^b）上單調(diào)遞減；從而可得G（$\sqrt{\frac{2}}$）＞0；再由G（1）=-1＜0，G（e^b）=blne^b-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，
∴f′（x）=$\frac{x}$，g′（x）=2ax-1，
又∵曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）有相同的切線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{g（1）=a-1=0}\\{b=2a-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
（2）f（x）-g（x）=x轉(zhuǎn)化為blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，G′（x）=$\frac{x}$-2x，
由G′（x）=$\frac{x}$-2x=0得，x=±$\sqrt{\frac{2}}$；
∵x∈（1，e^b），b＞2e，
∴$\sqrt{\frac{2}}$＞$\sqrt{e}$＞1，e^b＞$\sqrt{\frac{2}}$；
∴由G′（x）=$\frac{x}$-2x＞0得，1＜x＜$\sqrt{\frac{2}}$；
由G′（x）=$\frac{x}$-2x＜0得，$\sqrt{\frac{2}}$＜x＜e^b；
∴G（x）在（1，$\sqrt{\frac{2}}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{\frac{2}}$，e^b）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=$\sqrt{\frac{2}}$時(shí)，G_max（x）=bln$\sqrt{\frac{2}}$-$\frac{2}$=$\frac{2}$（ln$\frac{2}$-1）；
∵b＞2a，∴$\frac{2}$＞e，
∴l(xiāng)n$\frac{2}$＞lne=1，
∴G（$\sqrt{\frac{2}}$）＞0；
∵G（1）=-1＜0；
G（e^b）=blne^b-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0；
∴方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于難題．