Question

8．設函數f（x）=|x-a|+|x-5|，x∈R．
（1）當a=2時，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）已知a＜5，若關于x的方程f（x）=ax有且只有兩個實數解，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+5-2x，x＜a}\\{5-a，a≤x≤5}\\{2x-a-5，x＞5}\end{array}\right.$的圖象和直線y=ax有且只有兩個交點，數形結合求得正實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=|x-a|+|x-5|=|x-2|+|x-5|，不等式f（x）≥5，等價于：
$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{2-x+5-x≥5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{2≤x≤5}\\{x-2+5-x≥5}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞5}\\{x-2+x-5≥5}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤1，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，
故原不等式的解集為{x|x≤1，或x≥6  }．
（2）已知a＜5，若關于x的方程f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+5-2x，x＜a}\\{5-a，a≤x≤5}\\{2x-a-5，x＞5}\end{array}\right.$=ax有且只有兩個實數解，
即函數f（x）的圖象和直線y=ax有且只有兩個交點，
結合函數f（x）的圖象，點A（5，5-a），B（a，5-a），
直線OA的斜率為K_OA=$\frac{5-a}{5}$，圖中藍色的直線方程為y=2x，和f（x）右端的射線平行，
∴$\frac{5-a}{5}$＜a＜2，求得$\frac{5}{6}$＜a＜2．

點評 本題主要考查絕對值不等式的求法，帶有絕對值的函數，方程根的存在性以及個數判斷，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．