Question

已知函數f（x）的定義域是{x|x∈R，x≠

k

2

，2∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-

1

f(x)

，當0＜x＜

1

2

時，f（x）=3^x
（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在區(qū)間(

1

2

，1)上的解析式；
（3）是否存在正整數k，使得當x∈(2k+

1

2

，2k+1)時，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解？證明你的結論．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,指、對數不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，能導出f（x）是周期為2的函數．由此能夠證明f（x）是奇函數．
（2）當x∈（

1

2

，1）時，由f（x+1）=-

1

f(x)

，可得f（x））=-

1

f(x-1)

，代入即可；
（3）利用（2）的結果，當x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）時，f（x）=f（x-2k）=

1

31-(x-2k)

=

1

32k+1-x

．
不等式log₃f（x）＞x²-k-1即為x-2k-1＞x²-k-1，即x²-x+k＜0． 利用判別式與一元二次不等式的關系即可解出．

解答： 解：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，
得f（x+2）=-

1

f(x)

=f（x），
所以f（x）是周期為2的函數．
∴f（2-x）=f（-x），
∵f（x）+f（2-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函數．
（2）當x∈（

1

2

，1）時，
由f（x+1）=-

1

f(x)

，
知f（x）=f[1+（x-1）]=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

31-x

．
（3）由（2）知，當x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）時，
f（x）=f（x-2k）=

1

31-(x-2k)

=

1

32k+1-x

．
不等式log₃f（x）＞x²-k-1即為x-2k-1＞x²-k-1，即x²-x+k＜0． 
當x∈(2k+

1

2

，2k+1)時，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解等價于x²-x+k＜0有解．
∵對任意正整數k，△=1-4k²＜0，不等式x²-x+k＜0無解，
不存在正整數k，使得當x∈(2k+

1

2

，2k+1)時，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解

點評：本題證明函數是奇函數，求函數的解析式，解題時要認真審題，注意函數的周期性、奇偶性的靈活運用；同時要注意等價轉化的數學思想．