Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x∈R，x≠

k

2

，2∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-

1

f(x)

，當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f（x）=3^x
（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在區(qū)間(

1

2

，1)上的解析式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得當(dāng)x∈(2k+

1

2

，2k+1)時(shí)，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，能導(dǎo)出f（x）是周期為2的函數(shù)．由此能夠證明f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，由f（x+1）=-

1

f(x)

，可得f（x））=-

1

f(x-1)

，代入即可；
（3）利用（2）的結(jié)果，當(dāng)x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）時(shí)，f（x）=f（x-2k）=

1

31-(x-2k)

=

1

32k+1-x

．
不等式log₃f（x）＞x²-k-1即為x-2k-1＞x²-k-1，即x²-x+k＜0． 利用判別式與一元二次不等式的關(guān)系即可解出．

解答： 解：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，
得f（x+2）=-

1

f(x)

=f（x），
所以f（x）是周期為2的函數(shù)．
∴f（2-x）=f（-x），
∵f（x）+f（2-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，
由f（x+1）=-

1

f(x)

，
知f（x）=f[1+（x-1）]=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

31-x

．
（3）由（2）知，當(dāng)x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）時(shí)，
f（x）=f（x-2k）=

1

31-(x-2k)

=

1

32k+1-x

．
不等式log₃f（x）＞x²-k-1即為x-2k-1＞x²-k-1，即x²-x+k＜0． 
當(dāng)x∈(2k+

1

2

，2k+1)時(shí)，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解等價(jià)于x²-x+k＜0有解．
∵對(duì)任意正整數(shù)k，△=1-4k²＜0，不等式x²-x+k＜0無(wú)解，
不存在正整數(shù)k，使得當(dāng)x∈(2k+

1

2

，2k+1)時(shí)，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解

點(diǎn)評(píng)：本題證明函數(shù)是奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的周期性、奇偶性的靈活運(yùn)用；同時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．