Question

16．設(shè)f（x）=kx-$\frac{k}{x}$-2lnx．
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及存在極值的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，f'（x）≥0在其定義域（0，+∞）上恒成立，采用變量分離的方法并利用不基本不等式求最值，即可解出實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值的情況即可．

解答 解：（1）由f′（x）=$\frac{{kx}^{2}-2x+k}{{x}^{2}}$，
令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在其定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx²-2x+k≥0，即k≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，
∴$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，得k≥1，
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）．
（2）由f′（x）=$\frac{{kx}^{2}-2x+k}{{x}^{2}}$，
令h（x）=kx²-2x+k，（x＞0）
（i）k=0時(shí)，h（x）=-2x＜0，即f′（x）＜0，
故f（x）在（0，+∞）遞減，函數(shù)無極值，
（ii）若k≠0，h（x）是二次函數(shù)，△=4-4k²，
k≥1時(shí)，△＜0，h（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)；
0＜k＜1時(shí)，x₁=$\frac{1-\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$＞0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$＞x₁＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$）遞增，在0＜k＜1時(shí)，在（$\frac{1-\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$，$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$）遞減，在
（$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$，+∞）遞增，
x=$\frac{1-\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$是極大值點(diǎn)，x=$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$是極小值點(diǎn)；
-1＜k＜0時(shí)，x₁=$\frac{1-\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$＜0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$）遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$，+∞）遞增，
x=$\frac{1+\sqrt{1{-k}^{2}}}{k}$是極小值點(diǎn)；
k≤-1時(shí)，△＜0，h（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題給出含有對數(shù)和分母的初等函數(shù)，研究了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及分類討論思想，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．