Question

已知{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且{a₁，a₃，a₅}⊆{0，1，3，4，16}．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N^*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由{a_n}為遞增的等比數(shù)列，得到數(shù)列{a_n}的公比q＞0，且a₁＞0，又{a₁，a₃，a₅}⊆{0，1，3，4，16}，可得出a₁，a₃，a₅三項，則公比可求，通項可求．
（2）先假設(shè)存在等差數(shù)列{b_n}，由所給式子求出b₁，b₂，公差可求，通項可求，證明當b_n=n時，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立，用錯位相減法求得此數(shù)列是適合的．

解答： 解：（1）因為{a_n}為遞增的等比數(shù)列，所以其公比為正數(shù)
又{a₁，a₃，a₅}⊆{0，1，3，4，16}．
所以a₁=1，a₃=4，a₅=16       …（2分）
故q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1…（4分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的等差數(shù)列{b_n}，其公差為d
當n=1時，a₁b₁=1，又a₁=1，所以b₁=1
當n=2時，a₁b₂+a₂b₁=4，即b₂+2b₁=4，所以b₂=2  …（6分）
故d=b₂-b₁=1，b_n=b₁+（n-1）d=n             …（8分）
下面證明當b_n=n時，a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N^*都成立
設(shè)S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…++2^n-2×2+2^n-1×1　　①
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+2⁴×（n-3）+…++2^n-1×2+2ⁿ×1　�、凇�（10分）
②-①得：Sn=-n+2+22+23+…+2n-1+2n=-n+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2
所以存在等差數(shù)列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N^*都成立    …（12分）

點評：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，已知數(shù)列為等比數(shù)列，求通項公式，求首項和公比即可；用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數(shù)列的項與等比數(shù)列的項的乘積；考查推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想．