Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax+2a+1在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)值恒為正，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論a的取值，求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上恒為正時(shí)a的取值范圍即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax+2a+1在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)值恒為正，
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1是常數(shù)函數(shù)，滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=ax+2a+1的圖象是一條直線，且在[-1，1]上恒為正，
∴a＞0時(shí)，f（x）在定義域R上是增函數(shù)，只需f（-1）＞0，
即-a+2a+1＞0，解得a＞-1，取a＞0；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）是定義域R上的減函數(shù)，只需f（1）＞0，
即a+2a+1＞0，解得a＞-$\frac{1}{3}$，取-$\frac{1}{3}$＜a＜0；
綜上，a的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)用分類討論的方法，是基礎(chǔ)題目．