Question

19．已知全集U=R，非空集合$A=\left\{{x|\frac{x-2}{{x-（{3a+1}）}}＜0}\right\}，B=\left\{{x|\frac{{x-{a^2}-2}}{x-a}＜0}\right\}$．
（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，求（∁_UB）∩A；
（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，分別求出集合A，B的等價(jià)條件，結(jié)合集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)p是q的充分條件，轉(zhuǎn)化為A⊆B，結(jié)合集合的包含關(guān)系，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，A={x|$\frac{x-2}{x-\frac{5}{2}}$＜0}={x|2＜x＜$\frac{5}{2}$}，B={x|$\frac{x-\frac{9}{4}}{x-\frac{1}{2}}$＜0}={x|$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{9}{4}$}，
則∁_UB={x|x≥$\frac{9}{4}$或x≤$\frac{1}{2}$}，
∴（∁_UB）∩A={x|$\frac{9}{4}$≤x＜$\frac{5}{2}$}．
（2）∵a²+2＞a，∴B={x|a＜x＜a²+2}，
①當(dāng)3a+1＞2，即a＞$\frac{1}{3}$時(shí)，即A={x|2＜x＜3a+1}，
∵p是q的充分條件，∴A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a+1≤{a}^{2}+2}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{3}＜a≤\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
②當(dāng)3a+1=2，即a=$\frac{1}{3}$時(shí)，即A=∅，符合題意；
③3a+1＜2，即a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，即A={x|3a+1＜x＜2}，
由A⊆B得a≤3a+1，且a²+2≥2，解得-$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{3}$．
綜上所述a∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)條件求出集合的等價(jià)條件，結(jié)合集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．