Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x|，
（1）解不等式f（x-2）≤2-f（x）；
（2）證明：對任意實(shí)數(shù)x≠0，有$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）≥2$．

Answer 1

分析 （1）不等式等價于|x|+|x-2|≤2，再利用絕對值的意義求得x的范圍．
（2）由條件利用基本不等式證得結(jié)論成立．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x|，∴f（x-2）=|x-2|，不等式f（x-2）≤2-f（x），
等價于|x-2|≤2-|x|，即|x|+|x-2|≤2．
|x|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到0、2的距離之和，它的最小值為2，此時，0≤x≤2，
故不等式f（x-2）≤2-f（x）的解集為[0，2]．
（2）證明：$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）=|{\frac{1}{x}-1}|+|{x+1}|≥|{\frac{1}{x}+x}|=\frac{1}{|x|}+|x|≥2\sqrt{|x|•|{\frac{1}{x}}|}=2$，即$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）≥2$成立，
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時等號成立．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．