5．已知z是復(fù)數(shù)，z+2i與$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），然后代入z+2i結(jié)合已知求出y的值，再代入$\frac{z}{2-i}$，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡結(jié)合已知可求出x的值，則復(fù)數(shù)z可求；
（2）把z=4-2y代入（z+ai）2化簡結(jié)合已知條件列出不等式組，求解即可得答案．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），
則z+2i=x+（y+2）i為實(shí)數(shù)，
∴y=-2．
∵$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x-2i}{2-i}=\frac{（x-2i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2x+2+（x-4）i}{5}$=$\frac{2x+2}{5}+\frac{x-4}{5}i$為實(shí)數(shù)，
∴$\frac{x-4}{5}=0$，解得x=4．
則z=4-2y；
（2）∵（z+ai）2=（4-2y+ai）2=（12+4a-a2）+8（a-2）i在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12+4a-{a}^{2}＞0}\\{8（a-2）＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜6．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．對于某個(gè)給定的函數(shù)f（x），稱方程f（x）=x的根為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，且${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}$，當(dāng)t＜x1時(shí)，f（t）與x1的大小關(guān)系為（　　）
A．f（t）＞x1B．f（t）≥x1C．f（t）＜x1D．f（t）≤x1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．某數(shù)學(xué)興趣小組35名學(xué)生的成績的莖葉圖如圖所示，若將學(xué)生的成績由高到低編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[70，85）上的學(xué)生人數(shù)是5．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的一般方程是x2+y2-4x=0；．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．已知a＞0，（$\frac{a}{\sqrt{x}}$-x）6展開式的常數(shù)項(xiàng)為240，則${∫}_{-a}^{a}$（x2+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=$\frac{16}{3}$+2π．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x2-3x-10，則函數(shù)f（1-x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�
A．（$\frac{3}{2}$，+∞）B．（-$\frac{1}{2}$，+∞）C．（-4，3）D．（-∞，-4）和（3，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ax2lnx-（x-1）（x＞0），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=0．
（1）求證：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥（x-1）2； 
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥m（x-1）2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinθ，sinθ-cosθ），$\overrightarrow n=（cosθ，-2-m）$，函數(shù)$f（θ）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值為g（m）．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求g（m）的值；
（2）求g（m）；
（3）已知函數(shù)h（x）為定義在R上的增函數(shù)，且對任意的x1，x2都滿足h（x1+x2）=h（x1）+h（x2），問：是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使不等式$h（\frac{4}{sinθ-cosθ}）+h（2m+3）＞h（f（θ））$對所有$θ∈（\frac{π}{4}，π）$恒成立．若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．設(shè)函數(shù)f（x）=x3-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的極大值和極小值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案