Question

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinθ，sinθ-cosθ），$\overrightarrow n=（cosθ，-2-m）$，函數(shù)$f（θ）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值為g（m）．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求g（m）的值；
（2）求g（m）；
（3）已知函數(shù)h（x）為定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂都滿(mǎn)足h（x₁+x₂）=h（x₁）+h（x₂），問(wèn)：是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使不等式$h（\frac{4}{sinθ-cosθ}）+h（2m+3）＞h（f（θ））$對(duì)所有$θ∈（\frac{π}{4}，π）$恒成立．若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)$f（θ）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值為g（m）．利用向量的乘積運(yùn)算求出f（θ）的解析式，求出最小值可得g（m），當(dāng)m=2時(shí)，可得g（m）的值；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，討論參數(shù)的范圍分段表示求g（m）；
（3）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)m，則依題意有$\frac{4}{sinθ-cosθ}+2m+3＞f（θ）$，對(duì)所有$θ∈（\frac{π}{4}，π）$恒成立．
設(shè)t=sinθ-cosθ，則$t∈（0，\sqrt{2}）$，利用三角函數(shù)的有界限轉(zhuǎn)化為勾勾函數(shù)的求最值問(wèn)題，利用不等式的性質(zhì)即可求出m的取值范圍．

解答 解：由函數(shù)$f（θ）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
可得f（θ）=2sinθcosθ-（sinθ-cosθ）（2+m）
（1）設(shè)t=sinθ-cosθ，則$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，
則2sinθcosθ=-t²+1．
f（θ）轉(zhuǎn)化為Q（t）=-t²-（2+m）t+1．
當(dāng)m=2時(shí)，此時(shí)Q（t）=-t²-4t+1．
開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸t=-2，Q（t）在$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，取最小值$-1-4\sqrt{2}$．
（2）f（θ）=Q（t）=-t²-（2+m）t+1，$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
其對(duì)稱(chēng)軸為$t=-1-\frac{m}{2}$，
$當(dāng)-1-\frac{m}{2}≥\frac{{-\sqrt{2}+\sqrt{2}}}{2}，即m≤-2時(shí)$，$g（m）=Q（-\sqrt{2}）=-1+2\sqrt{2}+\sqrt{2}m$；
$當(dāng)-1-\frac{m}{2}＜\frac{{-\sqrt{2}+\sqrt{2}}}{2}，即m＞-2時(shí)$，$g（m）=Q（\sqrt{2}）=-1-2\sqrt{2}-\sqrt{2}m$；
綜上，$g（m）=\left\{\begin{array}{l}-1+2\sqrt{2}+\sqrt{2}m，m≤-2\\-1-2\sqrt{2}-\sqrt{2}m，m＞-2.\end{array}\right.$
（3）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)m，則依題意有$\frac{4}{sinθ-cosθ}+2m+3＞f（θ）$，對(duì)所有$θ∈（\frac{π}{4}，π）$恒成立．
設(shè)t=sinθ-cosθ，則$t∈（0，\sqrt{2}）$，
∴$\frac{4}{t}+2m+3＞-{t^2}-（2+m）t+1，t∈（0，\sqrt{2}]$恒成立，
即：$（t+2）m＞-（t+2）（t+\frac{2}{t}）$，$t∈（0，\sqrt{2}）$恒成立，
∵$t∈（0，\sqrt{2}]$，
∴t+2＞0
∴$m＞-（t+\frac{2}{t}），t∈（0，\sqrt{2}]$恒成立，
$t∈（0，\sqrt{2}]，t+\frac{2}{t}單調(diào)遞減，-（t+\frac{2}{t}）單調(diào)遞增$．
故得${[-（t+\frac{2}{t}）]_{max}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{{\sqrt{2}}}=-2\sqrt{2}$
∴$m＞-2\sqrt{2}$
∴存在符合條件的實(shí)數(shù)m，并且m的取值范圍為$（-2\sqrt{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，二次函數(shù)最值的討論，換元思想，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)利用最值和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．屬于難題．