20.已知角A,B,C為等腰△ABC的內(nèi)角,設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=(2sinA-sinC,sinB),$\overrightarrow{n}$=(cosC,cosB),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,BC=$\sqrt{7}$
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)在△ABC的外接圓的劣弧$\widehat{AC}$上取一點(diǎn)D,使得AD=1,求sin∠DAC及四邊形ABCD的面積.

分析 (Ⅰ)利用向量共線的條件,即可求角B;
(Ⅱ)求出CD,∠ADC=$\frac{2π}{3}$,由正弦定理可得sin∠DAC,即可求出四邊形ABCD的面積.

解答 解:(Ⅰ)∵向量$\overrightarrow{m}$=(2sinA-sinC,sinB),$\overrightarrow{n}$=(cosC,cosB),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sin(B+C),
∴2sinAcosB=sinA,
∴cosB=$\frac{1}{2}$,
∵0<B<π,
∴B=$\frac{π}{3}$;
(Ⅱ)根據(jù)題意及(Ⅰ)可得△ABC是等邊三角形,∠ADC=$\frac{2π}{3}$
△ADC中,由余弦定理可得$A{C}^{2}=A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CD•cos\frac{2π}{3}$,
∴CD2+CD-6=0,
∴CD=2,
由正弦定理可得sin∠DAC=$\frac{CDsin∠ADC}{AC}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
∴四邊形ABCD的面積.S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{7}sin∠DAC$+$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\sqrt{7}sin∠ABC$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線條件的運(yùn)用,考查余弦定理、正弦定理,屬于中檔題.

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