Question

4．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AC與D的交點，若$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{{C}_{1}M}$．

Answer 1

分析 根據(jù)空間向量的線性運算的幾何意義，利用平行六面體的性質(zhì)，用向量$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$、$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$和$\overrightarrow{{A}_{1}A}$表示出向量$\overrightarrow{{C}_{1}M}$即可．

解答 解：平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$
∴向量$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=$\overrightarrow{CM}$-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{D}_{1}A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{B}_{1}A}_{1}}$-$\overrightarrow{{AA}_{1}}$
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查了空間向量的線性運算的幾何意義與應用問題，是基礎題目．