Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n，且數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是公差為2的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的通項公式，可得S_n=n（2n-1），再由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通項；
（2）求得b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ•（4n-3）．討論n為偶數(shù)，n為奇數(shù)，結合等差數(shù)列的求和公式計算即可得到所求和．

解答 解：（1）由數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是公差為2的等差數(shù)列，
可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
即S_n=n（2n-1），
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）=4n-3，
對n=1時，上式也成立．
故a_n=4n-3；
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ•（4n-3）．
當n為偶數(shù)時，前n項和T_n=-1+5-9+13-…-（4n-7）+（4n-3）
=4×$\frac{n}{2}$=2n；
當n為奇數(shù)時，前n項和T_n=T_n-1+（-4n+3）
=2（n-1）-4n+3=1-2n．
則T_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n，n為偶數(shù)}\\{1-2n，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的求和和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．