Question

1．如圖，以△ABC的BC邊為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，EF⊥BC于F，BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，則AD長為（　�。�

• A． $\frac{{1+\sqrt{21}}}{2}$
• B． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{43}{2}$

Answer 1

分析 連接BE，由BC為直徑，可得BE⊥EC，設(shè)FC=a，可得BF=5a，運(yùn)用射影定理和勾股定理，可得EF，BE，EC，由勾股定理可得a=$\sqrt{2}$，則EC=2$\sqrt{3}$，再由割線定理，計(jì)算即可得到所求AD的長．

解答 解：連接BE，由BC為直徑，可得BE⊥EC，
設(shè)FC=a，可得BF=5a，
由射影定理可得，EF²=BF•FC，
即有EF=$\sqrt{5a•a}$=$\sqrt{5}$a，
BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{25{a}^{2}+5{a}^{2}}$=$\sqrt{30}$a，
EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{5{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{6}$a，
在直角三角形ABE中，AB²=AE²+BE²，
即有8²=2²+30a²，
解得a=$\sqrt{2}$，
則EC=2$\sqrt{3}$，
由圓的割線定理，可得AD•AB=AE•AC，
可得AD=$\frac{AE•AC}{AB}$=$\frac{2×（2+2\sqrt{3}）}{8}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查圓的割線定理、直角三角形的勾股定理和射影定理的運(yùn)用，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．