Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4-8|{x-\frac{3}{2}}|，1≤x≤2\\ \frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），\;x＞2.\end{array}$，則函數(shù)g（x）=xf（x）-6在區(qū)間[1，2²⁰¹⁵]內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為$\frac{3}{2}$•（2²⁰¹⁵-1）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，要分區(qū)間進(jìn)行討論，當(dāng)1≤x≤2，f（x）是二次函數(shù)，當(dāng)x＞2時，對應(yīng)的函數(shù)很復(fù)雜，找出其中的規(guī)律，最后作和求出．

解答 解：當(dāng)1≤x≤$\frac{3}{2}$時，f（x）=8x-8，
所以g（x）=8（x-$\frac{1}{2}$）2-8，此時當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，g（x）_max=0；
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜x≤2時，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2時，g（x）_max=0．
下面考慮2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2時，g（x）的最大值的情況．
當(dāng)2^n-1≤x≤3•2^n-2時，由函數(shù)f（x）的定義知f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=…=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$f（$\frac{x}{{2}^{n-1}}$），
因?yàn)?≤$\frac{x}{{2}^{n-1}}$≤$\frac{3}{2}$，
所以g（x）=$\frac{1}{{2}^{2n-5}}$（x-2n-2）2-8，
此時當(dāng)x=3•2^n-2時，g（x）_max=0；
當(dāng)3•2^n-2≤x≤2ⁿ時，同理可知，g（x）=-$\frac{1}{{2}^{2n-5}}$（x-2n-1）2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2時，g（x）_max=0．
綜上可得：對于一切的n∈N^*，函數(shù)g（x）在區(qū)間[2^n-1，2ⁿ]上有1個零點(diǎn)，
從而g（x）在區(qū)間[1，2ⁿ]上有n個零點(diǎn)，且這些零點(diǎn)為x_n=3•2^n-2，因此，所有這些零點(diǎn)的和為$\frac{3}{2}（{2}^{n}-1）$．
則當(dāng)n=2015時，所有這些零點(diǎn)的和為$\frac{3}{2}$•（2²⁰¹⁵-1）．
故答案為：$\frac{3}{2}$•（2²⁰¹⁵-1）

點(diǎn)評 本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷的問題，是一道較復(fù)雜的問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．