Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，已知直線l上兩點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)分別為（3，π），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）設(shè)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，求線段OP取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以MN為直徑的圓C的參數(shù)方程，并求在（Ⅰ）的條件下直線OP與圓C相交所得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)分別為（3，π），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得直角坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程．當(dāng)OP⊥MN時(shí)，線段OP取得最小值，此時(shí)直線OP的斜率為-$\sqrt{3}$．可得直線OP的方程，聯(lián)立即可解得P坐標(biāo)．
（II）線段MN的中點(diǎn)C$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得以MN為直徑的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$（x+\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．利用cos²θ+sin²θ=1可以化為參數(shù)方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d，在（Ⅰ）的條件下直線OP與圓C相交所得的弦長(zhǎng)=2$\sqrt{{r}^{2}-yzzvsne^{2}}$．

解答 解：（I）點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)分別為（3，π），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），可得直角坐標(biāo)分別為：（-3，0），$（0，\sqrt{3}）$．
可得直線l的方程：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
當(dāng)OP⊥MN時(shí)，線段OP取得最小值，此時(shí)直線OP的斜率為-$\sqrt{3}$．
∴直線OP的方程為：y=-$\sqrt{3}$x．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$．
∴P$（-\frac{3}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}）$．
（II）線段MN的中點(diǎn)C$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，∴以MN為直徑的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$（x+\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．
化為參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
∵圓心C到直線l的距離d=$\frac{|-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴在（Ⅰ）的條件下直線OP與圓C相交所得的弦長(zhǎng)=2$\sqrt{3-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．