Question

求下列函數(shù)的值域．
（1）y=3x+1，x∈[1，2]；
（2）y=x²-4x-5，x∈[-1，1]；
（3）y=

x+1

x-1

；
（4）y=

1-x2

1+x2

；
（5）y=2x+

1-x

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由觀察法求值域；
（2）由配方法求值域；
（3）由分離系數(shù)法求值域；
（4）由分離系數(shù)法求值域；
（5）由換元法求值域．

解答： 解：（1）∵x∈[1，2]；
∴3x+1∈[4，7]；
故y=3x+1，x∈[1，2]的值域?yàn)閇4，7]；
（2）y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∵-1≤x≤1，
∴-8≤x²-4x-5≤0，
故y=x²-4x-5，x∈[-1，1]的值域?yàn)閇-8，0]；
（3）y=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

；
故y=

x+1

x-1

的值域?yàn)閧y|y≠1}；
（4）y=

1-x2

1+x2

=-1+

2

1+x2

；
∵0＜

2

1+x2

≤2，
∴-1＜-1+

2

1+x2

≤1，
故y=

1-x2

1+x2

的值域?yàn)椋?1，1]；
（5）令

1-x

=t（t≥0），x=1-t²，
y=2x+

1-x

=2（1-t²）+t
=-2（t-

1

4

）²+

9

8

，
∵t≥0，∴-2（t-

1

4

）²+

9

8

≤

9

8

；
則函數(shù)y=2x+

1-x

的值域?yàn)椋?∞，

9

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．