Question

18．如圖，一塊半徑為2米的半圓形鋼板，O為圓心，現(xiàn)從中截出兩塊內(nèi)接矩形部件ABCD和EFGH，且HG=2FG，點P為GH的中點，∠POG=θ．
（1）當(dāng)θ=15°時，求矩形ABCD的面積；
（2）設(shè)△OGH的面積為S，當(dāng)θ變化時，求y=S+BC的最大值．

Answer 1

分析 （1）、當(dāng)θ=15°時，GF=PG=2sin15°，OP=2cos15°，從而求得BC=2cos15°-2sin15°=2$\sqrt{1-sin30°}$=$\sqrt{2}$；再求矩形ABCD的面積；
（2）可知S=$\frac{1}{2}$×HG×OP=4sinθcosθ，BC=2cosθ-2sinθ，從而可得y=S+BC=4sinθcosθ+2cosθ-2sinθ，再利用換元法令cosθ-sinθ=t（0＜t＜1），則2sinθcosθ=1-t²，從而化為二次函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）、當(dāng)θ=15°時，
GF=PG=2sin15°，OP=2cos15°，
BC=2cos15°-2sin15°
=2$\sqrt{1-sin30°}$
=$\sqrt{2}$；
故OB=$\sqrt{{2}^{2}-2}$=$\sqrt{2}$，
故矩形ABCD的面積S=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4．
（2）、由題意，
S=$\frac{1}{2}$×HG×OP
=$\frac{1}{2}$×2×2sinθ×2cosθ
=4sinθcosθ，
BC=2cosθ-2sinθ，
故y=S+BC=4sinθcosθ+2cosθ-2sinθ
令cosθ-sinθ=t（0＜t＜1），則2sinθcosθ=1-t²，
則y=2（1-t²）+2t
=2（-t²+t+1）=-2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$；
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，y=S+BC取得最大值$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與應(yīng)用，同時考查了二次函數(shù)的最值求法及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．