8．已知$\left\{\begin{array}{l}{sinα+sinβ=\frac{1}{2}}\\{y=co{s}^{2}α-sinβ}\end{array}\right.$，求值域．

分析 利用已知條件，化簡所求表達(dá)式只有一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解表達(dá)式的最值即可．

解答 解：sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，則$y=co{s}^{2}α+sinα-\frac{1}{2}$=-sin2α+sinα+$\frac{1}{2}$=-（sinα-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{3}{4}$．
∵sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，∴sinα∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinα=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值：$\frac{3}{4}$．
sinα=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值：-$\frac{3}{2}$．
函數(shù)的值域?yàn)閇-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

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10．設(shè)集合A的元素都是正整數(shù)，滿足：①A的元素個(gè)數(shù)不小于3；②若a∈A，b∈A，1＜a＜b，則1+ab∈A．③若a∈A，則a的所有因子都屬于A．回答下面的問題：
（1）證明：1，2，3，4，5，均為A中元素；
（2）問：2011是否屬于A．

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19．已知函數(shù)f（x）=nlnx-mx+m，m，n∈R
（1）證明：曲線y=f（x）必經(jīng)過過定點(diǎn)（1，0）；
（2）若曲線y=f（x）與x軸相切，證明 m=n．

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16．已知橢圓b2x2+a2y2=a2b2（a＞b＞0）截直線l1：bx-ay=ab所得弦長為2$\sqrt{2}$，過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為$\sqrt{3}$的直線l2被橢圓截得的弦長是橢圓長軸長的$\frac{2}{5}$，求橢圓方程．

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3．在等比數(shù)列{an}中，a5a7=2，a2+a10=3，則$\frac{{a}_{12}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{2}$或2．

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13．某校把一塊形狀為正三角形的邊角地ABC開辟為生態(tài)園，如圖所示，其中AB=2a，DE把三角形分成面積相等的兩個(gè)部分，D在線段AB上，E在線段AC上．
（1）設(shè)AD=x，ED=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（2）如果DE是灌溉水渠的位置，為了省錢希望它最短，那么DE的位置應(yīng)該在哪里，如果DE是參觀路線，卻希望它最長，那么DE的位置又應(yīng)該在哪里？

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20．已知函數(shù)f（x）=2cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$的圖象與直線y=-2+$\sqrt{3}$的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

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17．函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x-2|，若f（x）≥0，
（1）求x的取值范圍；
（2）若f（x）=3|x-1|，求x的取值范圍．

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18．如圖，一塊半徑為2米的半圓形鋼板，O為圓心，現(xiàn)從中截出兩塊內(nèi)接矩形部件ABCD和EFGH，且HG=2FG，點(diǎn)P為GH的中點(diǎn)，∠POG=θ．
（1）當(dāng)θ=15°時(shí)，求矩形ABCD的面積；
（2）設(shè)△OGH的面積為S，當(dāng)θ變化時(shí)，求y=S+BC的最大值．

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