Question

8．已知$\left\{\begin{array}{l}{sinα+sinβ=\frac{1}{2}}\\{y=co{s}^{2}α-sinβ}\end{array}\right.$，求值域．

Answer 1

分析 利用已知條件，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式只有一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解表達(dá)式的最值即可．

解答 解：sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，則$y=co{s}^{2}α+sinα-\frac{1}{2}$=-sin²α+sinα+$\frac{1}{2}$=-（sinα-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$．
∵sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，∴sinα∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinα=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值：$\frac{3}{4}$．
sinα=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值：-$\frac{3}{2}$．
函數(shù)的值域?yàn)閇-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．