Question

8．已知{a_n}是公差為正的等差數(shù)列，且a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知a_n=b₁+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…+$\frac{_{n}}{2n-1}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，由a₃a₆=55，a₂+a₇=16=a₃+a₆．解得：a₃，a₆，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用遞推關(guān)系即可得出b_n，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，
∴由a₃a₆=55，a₂+a₇=16=a₃+a₆．
 解得：a₃=5，a₆=11，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+5d=11}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2．
a_n=2n-1．
（2）∵a_n=b₁+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…+$\frac{_{n}}{2n-1}$（n∈N^*），
∴a_n-1=a_n=b₁+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…$\frac{_{n-1}}{2n-3}$（n≥2），
相減得$\frac{_{n}}{2n-1}$=2，可得b_n=4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1，∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4n-2，n≥2}\end{array}\right.$，
∴n≥2時(shí)，S_n=1+$\frac{（n-1）（6+4n-2）}{2}$=2n²-1，
又n=1時(shí)，適合上式．
綜上所述：S_n=2n²-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．