Question

16． 已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的$\frac{3}{16}$，求這兩個圓錐中，體積較小者與體積較大者的高的比值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結合圖形設出球的半徑，求出球的面積以及圓錐的底面積，由此求出圓錐的底面半徑和兩圓錐的高的比值．

解答 解：設球的半徑為R=4；則球的表面積為4π×4²=64π，
兩圓錐的底面積為$\frac{3}{16}$×64π=12π，
所以圓錐的底面半徑r滿足πr²=12π，
解得r=2$\sqrt{3}$；
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離d，
球的半徑R以及圓錐底面的半徑r三者構成一個直角三角形，
由此求出球心到圓錐底面的距離d=$\sqrt{{4}^{2}{-（2\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
所以圓錐體積較小者的高為h=R-d=4-2=2，
同理得圓錐體積較大者的高為H=R+d=4+2=6；
所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了旋轉體的表面積以及球內接圓錐的表面積的應用問題，也考查了計算能力與空間想象能力，是基礎題目．