Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若橢圓上存在點(diǎn)P，使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，則橢圓離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． $[\frac{1}{2}，1）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• D． $[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$可得∠APB=90°及圓的性質(zhì)，可得|OP|的長，運(yùn)用離心率公式，從而可求橢圓的離心率的范圍．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得∠APB=90°，
利用圓的性質(zhì)，可得|OP|=$\sqrt{2}$b，
∴|OP|²=2b²≤a²，又b²=a²-c²，
∴a²≤2c²
∴e²≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．