Question

3．橢圓C的左、右焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且點(diǎn)P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過F₁的動直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△F₂AB面積的最大值及面積最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義便可得到$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2\sqrt{3}=2a$，從而可以求出a，再根據(jù)c=1便可求出b²，從而得出橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為：x=my-1，聯(lián)立橢圓的方程消去x便可得到（2m²+3）y²-4my-4=0，由韋達(dá)定理可以求出y₁+y₂，y₁•y₂，從而可以求出$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{2{m}^{2}+3}$，可以得出${S}_{△{F}_{2}AB}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{{m}^{2}+1}}{2{m}^{2}+3}$．為求△F₂AB面積的最大值，可換元：令2m²+3=t，t≥3，從而得到${S}_{△{F}_{2}AB}=2\sqrt{6}\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，而$\frac{1}{t}∈（0，\frac{1}{3}]$，從而可以看出$\frac{1}{t}=\frac{1}{3}$時(shí)，△F₂AB的面積最大，并可求出該最大值，并可求出此時(shí)m的值，從而得出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$；
∵|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{{{（1+1）}^2}+（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）{\;}^2}+\sqrt{{{（1-1）}^2}+（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）{\;}^2}$=$2\sqrt{3}=2a$；
a²=3，又c=1，所以b²=2；
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）設(shè)直線l：x=my-1，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my-1\end{array}\right.$得（2m²+3）y²-4my-4=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{2{m^2}+3}}$；
∴$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{{4\sqrt{3（{m^2}+1）}}}{{2{m^2}+3}}$；
∴${S}_{△{F}_{2}AB}={S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}|•|{y_1}-{y_2}|$=|y₁-y₂|=$\frac{{4\sqrt{3（{m^2}+1）}}}{{2{m^2}+3}}$；
令t=2m²+3≥3，則${m^2}=\frac{t-3}{2}$，所以${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{{4\sqrt{3（\frac{t-3}{2}+1）}}}{t}$=$2\sqrt{6}\sqrt{-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}$=$2\sqrt{6}\sqrt{-{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$；
因?yàn)?\frac{1}{t}∈（0，\frac{1}{3}]$，所以當(dāng)$\frac{1}{t}=\frac{1}{3}$，即m=0時(shí)，$（{S}_{{F}_{2}AB}）_{max}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
此時(shí)直線的方程為x=-1．

點(diǎn)評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的定義，a²=b²+c²，直線l的方程設(shè)成x=my-1是本題求解的關(guān)鍵，該直線方程包括了斜率不存在和斜率存在不為0的情況，韋達(dá)定理，以及三角形面積公式，換元法的運(yùn)用，配方處理二次式子的方法．