Question

已知f（x）=acos2x+2cosx-3
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，將化簡f（x）為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式：f（x）=2acos²x+2cosx-（3+a）．再用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解．
（Ⅱ）令cosx=t，問題轉(zhuǎn)化為y=2at²+2t-（3+a）=0在[-1，1]上有解．利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合函數(shù)的圖象分類解決．要注意對a取值進(jìn)行討論．

解答：解：由已知可得：f（x）=acos2x+2cosx-3=2acos²x+2cosx-（3+a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2cos²x+2cosx-4=2（cosx+

1

2

）²-

9

2

由-1≤cosx≤1，得函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-

9

2

，0]
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)，即2at²+2t-（3+a）=0在[-1，1]上有解．
（1）a=0時(shí)，方程的解t=

3

2

∉[-1，1]不滿足條件
（2）當(dāng)a≠時(shí)，設(shè)g（t）=2t2+

2

a

t-（

3

a

+1）
則①當(dāng)g（-1）g（1）≤0時(shí)滿足條件，此時(shí)有1≤a≤5
②當(dāng)g（-1）g（1）＞0時(shí)時(shí)，必有以下四式同時(shí)成立
即g（-1）＞0，g（1）＞0，△≥0，-1≤-

1

2a

≤-1．
解得a＞5，或a≤

-3- 7

2

綜上可得，a的取值范圍為（-∞，

-3- 7

2

）∪[1，+∞）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)公式、函數(shù)零點(diǎn)的求解、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，換元法，數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想方法．