Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點P（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=2x+1的圖象上． 
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將a_n+1=2a_n+1兩邊加1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），應(yīng)用等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）由（1）令C_n=a_n+1，由等比數(shù)列的通項，得到Cn的通項，從而得到an；
（3）應(yīng)用分組求和、錯位相減法，首先將3n•2^n-1-n分成{3n•2^n-1}、{-n}兩組求和，運用錯位相減法，求出第一組的和，再由等差數(shù)列的求和公式求出第二組的和，再相加即可．

解答： （1）證明：∵點P（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=2x+1的圖象上，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：令C_n=a_n+1，
∴C₁=a₁+1=3
∵{C_n}是等比數(shù)列，
∴C_n=3•2^n-1
即a_n+1=3•2^n-1
∴a_n=3•2^n-1-1；
（3）解：b_n=na_n=3n•2^n-1-n
令d_n=3n•2^n-1
令S₁=3×1+6×2+9×4+…+3（n-1）2^n-2+3n•2^n-1
2S₁=3×2+6×4+9×8+…+3（n-2）•2^n-2+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ
∴S₁=3n•2ⁿ-（3+6+12+…+3•2^n-2+3•2^n-1）
=3n•2ⁿ-

3(1-2n)

1-2

=3（n-1）•2ⁿ+3，
∴S_n=S₁-

n(n+1)

2

=3（n-1）•2ⁿ-

n(n+1)

2

+3．

點評：本題考查數(shù)列的通項和求和，主要考查等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用，和分組求和、錯位相減法求和，屬于中檔題．