Question

如圖1，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M為側(cè)棱PD上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．
（1）證明：BC⊥平面PBD；
（2）線段CD上是否存在點(diǎn)N，使AM與BN所成角的余弦值為

3

4

？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求CN的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用俯視圖和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥PD，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量所成的角的夾角公式即可得出．

解答： （1）證明：由俯視圖可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（2）解：線段CD上存在點(diǎn)N，使AM與BN所成角的余弦值為

3

4

．
證明如下：
∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
∴D（0，0，0），A（

3

，0，0），B（

3

，1，0），C（0，4，0），M（0，0，3）．
 設(shè)N（0，t，0）．
∴

AM

=（-

3

，0，3），

BN

=（-

3

，t-1，0）．
要使AM與BN所成角的余弦值為

3

4

，則有

|3|

2 3 • 3+(t-1)2

=

3

4

，解得 t=0或2，均適合N（0，t，0）．
故點(diǎn)N位于D點(diǎn)處，此時(shí)CN=4；或CD中點(diǎn)處，此時(shí)CN=2，有AM與BN所成角的余弦值為

3

4

．

點(diǎn)評：熟練掌握由三視圖得到線面位置關(guān)系和數(shù)據(jù)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、異面直線所成的角、平行線分線段成比例的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．