Question

8．命題p：“?x∈（0，+∞），有9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$≥7a+1，其中常數(shù)a＜0”，若命題q：“?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0”
若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先，分別判斷兩個命題為真命題時，a的取值范圍，然后，結(jié)合“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則命題p和命題q一真一假，分情況進(jìn)行討論完成結(jié)果．

解答 解：∵a＜0，若p為真命題，則（9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$）_min≥7a+1，
又∵9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{9x•\frac{{a}^{2}}{x}}$=|6a|=-6a，
∴-6a≥7a+1，
∴a≤-$\frac{1}{13}$，
若q為真命題，則方程x²+2ax+2-a=0有實根，
∴△=4a²-4（2-a）≥0，
即a≥1或a≤-2，
若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則命題p和命題q一真一假
∴當(dāng)p真q假時，則$\left\{\begin{array}{l}a≤-\frac{1}{13}\\-2＜a＜1\end{array}\right.$，
∴-2＜a≤-$\frac{1}{13}$，
當(dāng)p假q真時，則$\left\{\begin{array}{l}a＞-\frac{1}{13}\\ a≤-2，或a≥1\end{array}\right.$，
∴a≥1，
綜上，符合條件的a的取值范圍為（-2，-$\frac{1}{13}$]∪[1，+∞）．

點評 本題重點考查了命題的真假判斷、復(fù)合命題的真假判斷等知識，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷符合命題的真假情形．